对数积分

对数积分li(x)是一个非初等函数。它出现在物理学的问题中，在数论中也有重要性，主要出现在与素数定理与黎曼猜想的相关理论之中。

定义

对数积分如下定义

其中在处有一个奇点。所以只能用柯西主值概念解释：

由于积分在x趋于0时，积分值会趋向无穷大。所以，常常会出现相似定义：长城欧拉对数积分定义为：

或

级数表示法

函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系：

当时，

一个收敛更快的是：

其中[x]为高斯函数

渐近展开式

数论中的重要性

对数积分在数论中十分重要，出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如，素数定理表明：

其中是小于或等于x的素数的个数。

参考资料